幾何與拓樸簡介

尼斯的靈魂

學數學很多人都會迷失於符號與定理中。一開始數學在發展的時候,都是以相當容易理解的想法去做定義。大家或許會被這些專有名詞給嚇到了,千萬別害怕,我舉幾個例子,大家就會知道,數學其實有他簡單的概念在。幾個例子來說,何謂黎曼面?如果要以很好聽的數學術語來講,其定義為:一維的複流形。單從字面上來看,你大概不太能夠體會黎曼面是甚麼。而學數學的過程裡,你依然會遇到許多奇奇怪怪的術語。數學要用例子去看。

舉個高中生也能懂得例子,球面二維球面$latex S^{2}:x^2 +y^2 +z^2=1$就是最簡單的黎曼面。它是緊致可定向的幾何空間。但如果以高中生能懂得話來說呢?很簡單,所謂的緊致就是一個封閉的有界集合。所謂的有界,就是他是有範圍的。所謂的封閉,就是取球面上的點,不管怎麼跑,都還是會落在這個球面上(除非有外力)。所謂的曲面,請各位回想一下地球,是不是在地球的表面上,你會覺得自己是在平面,不是在彎曲的球上呢?(除了你搭外太空船,或者是到101大樓上去,才發現原來地球是彎曲的)。所以我們定義了(二維)曲面:假想人是活在這個世界上,會覺得自己是在平坦的空間中,但實際上 並不是,他是很多個平坦的平面黏貼起來的。這樣的空間會有座標的概念。舉例來說,我們有經度跟緯度。經度跟緯度就是一種座標呀!$latex x^2+y^2+z^2= 1$就可以用經度跟緯度去描述的。

如果大家被數學名詞嚇到了,肯定看不出他好玩的地方在哪。在相對論中,協變微分這個名字很嚇人呀!但是,各位,千萬別害怕。我用很簡單的方式跟各位介紹。我們還是回到地球的例子。我們在地球上所做的一切運動都是內在的(除非利用了能源,用了太空船),一般的跑步,運動都是內在的行為。所謂的不是內在的,就是利用太空船或其他力量離開地球表面的活動。所以,只要一直在地球表面活動而不離開地球表面,我們都稱為內在。協變微分更好玩。微分就是研究變化率的一個方法,所謂的協變微分,講的就是內在的微分。也就是說,研究一切在地球表面上的變化,就可稱為協變微分。如果脫離了地球,就不是協變微分。

在打個比方,代數拓樸中的同調群,其實可以用高中生就能懂得方法可以解釋。因為發明同調群的人,想法是相當簡單的。記得以前高中還有所謂的補充教材。裡面有提了$latex V-E+F=2$。$latex V$是頂點,$latex E$是邊,$latex F$是面的數量。這是著名的由拉公式(Euler formula)。

同調群,便是去計算一些多邊形或多面體的”點,線,面”的一些數量所產生的東西。進而去計算更一般的集合(或所謂的拓樸空間)。我們可以把球面用三角形的方式填出來。(當然這三角形並不一定是直線構成的,是曲線。)這是所謂的三角剖分(Triangulation)。同調群就是透過三角剖分所定義出來的量。

打個比方,三角形$latex Delta ABC$是由點$latex A$, $latex B$, $latex C$與邊$latex AB,BC,CA$所構成。考慮任意的整數$latex m,n,k$我們會考慮 $latex m AB + n BC +k CA$的組合(稱為一個鏈chain)。我們可以定義邊長的邊界映射$latex partial$,檢而言之,任意向量$latex PQ$,其邊界映射為

$latex partial PQ= Q – P$

其實就是把向量$latex PQ$送到他的邊界,邊界就是頂點$latex P,Q$。(這是高二數學對吧)所以任意一個鍊的邊界會長怎樣呢?

$latex partial (m AB + n BC +k CA)=m(B-A)+n(C-B)+k(A-C)=(k-m)A + (m-n)B +(n-k)$

如果把邊界送到原點(各位同學可以想一下三個點連線出來剛好是原點是有意義的吧!),我們發現 k=m=n。其實就是所謂的循環(cycle)。循環就長這樣:$latex Ato Bto Cto A$或者是$latex m(AB+BC+CA)$,其中$latex m$是整數。所以三角形$latex Delta ABC$的同調群是整數。

取$latex x^2 +y^2 =1$,在平面上為一個圓。在此圓上任取三個點$latex P,Q,R$我們有$latex PQ$弧,$latex QR$弧$latex RP$弧。一樣可以定義$latex m PQ +nQR +kRQ$。去計算一些數。我們發現,圓的同調群一樣也是正整數。所以我們會去思考,圓跟三角形是不是有某種關係呢?講個數學的術語:圓與三角形同胚。(其實是由同胚得到同調群相等。)所謂的拓樸就是在研究集合之間的關係。看似不同的兩個東西,在某種”結構”上是相同的。所以拓樸主要是在分類不同的空間關係。

今天的幾何與拓樸課程暫時上到這裡,有機會再繼續介紹吧!

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